Fundamentos das Equações de 1º Grau

O que é uma Equação de 1º Grau?

Uma equação de 1º grau (ou equação linear) é uma igualdade matemática que envolve apenas termos de grau 1 (como x, y, z) ou constantes. Sua forma geral é:

ax + b = 0

Onde:

• a é o coeficiente da incógnita (a ≠ 0)
• b é o termo independente
• x é a incógnita (a variável que queremos encontrar)

Princípios Fundamentais para Resolução

1. Princípio da Adição: Se somarmos ou subtrairmos um mesmo valor de ambos os lados de uma equação, a igualdade permanece válida.
2. Princípio da Multiplicação: Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados de uma equação por um mesmo valor não nulo, a igualdade permanece válida.

Passo a Passo para Resolver Equações de 1º Grau

1. Eliminar parênteses e denominadores (se houver)
2. Agrupar termos semelhantes (colocar variáveis de um lado da equação e constantes do outro)
3. Isolar a incógnita (aplicar operações inversas)
4. Verificar a solução (substituir o valor encontrado na equação original)

Exemplos

Resolver: 2x + 3 = 7

Resolução:

• Isolar variáveis: 2x = 7 – 3
• Simplificar: 2x = 4
• Isolar x: x = 4/2 = 2

Verificação: 2(2) + 3 = 7 ✓

Resolver: 3x – 5 = x + 7

Resolução:

• Agrupar termos semelhantes: 3x – x = 7 + 5
• Simplificar: 2x = 12
• Isolar x: x = 12/2 = 6

Verificação: 3(6) – 5 = 1(6) + 7 → 18 – 5 = 6 + 7 → 13 = 13 ✓

Equações com Parênteses e Frações

Resolver: 2(x – 3) + 4 = 3(x + 1)

Resolução:

1. Eliminar parênteses:
   • 2x – 6 + 4 = 3x + 3
   • 2x – 2 = 3x + 3
2. Agrupar termos:
   • 2x – 3x = 3 + 2
   • -x = 5
3. Isolar x:
   • x = -5

Resolver: x/3 + 2 = x/2 – 1

Resolução:

1. Eliminar denominadores (multiplicando por 6, que é o MMC de 2 e 3):
   • 6(x/3 + 2) = 6(x/2 – 1)
   • 2x + 12 = 3x – 6
2. Agrupar termos:
   • 2x – 3x = -6 – 12
   • -x = -18
3. Isolar x:
   • x = 18

Interpretação de Problemas

Estratégias para Conversão de Problemas em Equações

1. Identificar a incógnita: O que o problema pede para encontrar?
2. Estabelecer relações: Como os valores se relacionam entre si?
3. Traduzir para linguagem matemática: Converter as relações em equações
4. Resolver e interpretar: Encontrar o valor da incógnita e responder à questão do problema

Exemplo Aplicado 1 (Nível Básico)

Problema: A idade de João é o triplo da idade de seu filho Pedro, e a soma das idades é 40 anos. Qual a idade de cada um?

Resolução:

1. Definir as incógnitas:
   • x = idade de Pedro
   • 3x = idade de João (triplo da idade de Pedro)
2. Estabelecer a equação:
   • x + 3x = 40
   • 4x = 40
   • x = 10
3. Resposta: Pedro tem 10 anos e João tem 30 anos.

Aplicações Avançadas para Concursos

Exemplo Avançado 1: Questão de Valor Monetário

Problema (ESAF): Um pai dividiu R$ 1.200,00 entre seus três filhos, de modo que o primeiro recebeu 1/4 do total, o segundo recebeu 1/3 do que restou, e o terceiro recebeu o restante. A diferença entre a maior e a menor das três quantias é:

Resolução:

1. Calculando o valor recebido pelo primeiro filho:
   • 1º filho = R$ 1.200,00 × 1/4 = R$ 300,00
   • Restante = R$ 1.200,00 – R$ 300,00 = R$ 900,00
2. Calculando o valor recebido pelo segundo filho:
   • 2º filho = R$ 900,00 × 1/3 = R$ 300,00
   • Restante = R$ 900,00 – R$ 300,00 = R$ 600,00
3. O terceiro filho recebeu o restante:
   • 3º filho = R$ 600,00
4. A diferença entre a maior e a menor quantia:
   • Maior quantia = R$ 600,00 (3º filho)
   • Menor quantia = R$ 300,00 (1º e 2º filhos)
   • Diferença = R$ 600,00 – R$ 300,00 = R$ 300,00

Exemplo Avançado 2: Mistura e Concentração

Problema (FCC): Um químico precisa preparar 800 ml de uma solução com concentração de 15% de certo ácido. Para isso, ele dispõe de duas soluções: uma com concentração de 10% e outra com concentração de 25% do mesmo ácido. Quantos mililitros da solução de 25% devem ser utilizados?

Resolução:

1. Definindo as incógnitas:
   • x = volume da solução de 10%
   • y = volume da solução de 25%
2. Estabelecendo as equações:
   • x + y = 800 (equação do volume total)
   • 0,10x + 0,25y = 0,15 × 800 (equação da concentração)
   • 0,10x + 0,25y = 120
3. Resolvendo o sistema:
   • Da primeira equação: x = 800 – y
   • Substituindo na segunda: 0,10(800 – y) + 0,25y = 120
   • 80 – 0,10y + 0,25y = 120
   • 80 + 0,15y = 120
   • 0,15y = 40
   • y = 40/0,15 = 266,67
4. Resposta: Devem ser utilizados aproximadamente 267 ml da solução de 25%.

Exemplo Avançado 3: Taxas e Percentuais

Problema (CESPE): Um funcionário recebeu um aumento de 15% em seu salário, passando a receber R$ 2.300,00. Em seguida, devido a problemas financeiros da empresa, teve uma redução de 10% em seu novo salário. Se o salário final do funcionário é de R$ 2.070,00, qual era seu salário inicial?

Resolução:

1. Definindo a incógnita:
   • x = salário inicial
2. Estabelecendo a equação:
   • Salário após aumento: 1,15x = 2.300
   • Salário final após redução: 0,9 × 2.300 = 2.070 (já temos esse valor)
3. Encontrando o salário inicial:
   • 1,15x = 2.300
   • x = 2.300/1,15 = 2.000
4. Verificação:
   • 2.000 × 1,15 = 2.300
   • 2.300 × 0,9 = 2.070
5. Resposta: O salário inicial era de R$ 2.000,00.

Técnicas Avançadas para Concursos

Equações com Módulos

Problema: Resolva |2x – 5| = 7

Resolução:

1. Caso 1: Se (2x – 5) ≥ 0
   • 2x – 5 = 7
   • 2x = 12
   • x = 6
   • Verificando: 2(6) – 5 = 7 ✓
2. Caso 2: Se (2x – 5) < 0
   • -(2x – 5) = 7
   • -2x + 5 = 7
   • -2x = 2
   • x = -1
   • Verificando: 2(-1) – 5 = -7 (mas |−7| = 7) ✓
3. Resposta: x = -1 ou x = 6

Problema Envolvendo Razão e Proporção

Problema (FGV): Três analistas, trabalhando 8 horas por dia, analisam 240 processos em 5 dias. Quantos analistas, com a mesma eficiência, serão necessários para analisar 384 processos em 4 dias, trabalhando 10 horas por dia?

Resolução:

1. Usando a proporção direta e inversa:
   • Número de analistas: diretamente proporcional ao número de processos e inversamente proporcional ao número de dias e às horas trabalhadas
   • Seja x o número de analistas necessários:
   x/3 = (384/240) × (5/4) × (8/10) x/3 = 1,6 × 1,25 × 0,8 x/3 = 1,6 x = 4,8 ≈ 5 analistas
2. Resposta: Serão necessários 5 analistas.

Dicas para Concursos Públicos

1. Leia o enunciado com atenção: Muitas vezes o problema já indica o método de resolução.
2. Verifique as unidades de medida: Certifique-se de que todas as unidades estão consistentes.
3. Faça estimativas: Antes de resolver, tente estimar a ordem de grandeza da resposta.
4. Teste suas respostas: Substitua o valor encontrado na equação original para verificar.
5. Cuidado com problemas capciosos: Alguns problemas têm “pegadinhas” que podem induzir ao erro.
6. Organize seu raciocínio: Use papel de rascunho para registrar todos os passos.
7. Treine com questões reais: A prática com questões de concursos anteriores é fundamental.