A variação de grandezas é um dos tópicos mais recorrentes em provas de concursos públicos, aparecendo em questões de raciocínio lógico, matemática e até em situações práticas de cálculos administrativos. Dominar razão, proporção e regra de três é fundamental para resolver problemas do dia a dia e garantir pontos preciosos em sua prova.

Neste artigo, você encontrará uma explicação completa, desde os conceitos básicos até questões avançadas no estilo dos principais concursos do Brasil.

1. RAZÃO E PROPORÇÃO

1.1 O que é Razão?

Razão é a comparação entre duas grandezas através de uma divisão. É expressa na forma de fração ou divisão.

Fórmula:

Onde:

• a = antecedente
• b= consequente (sempre diferente de zero)

Exemplos Práticos:

Exemplo 1: Em uma sala há 20 homens e 30 mulheres. Qual a razão entre homens e mulheres?

Interpretação: Para cada 2 homens, há 3 mulheres.

Exemplo 2: Um carro percorre 150 km em 2 horas. Qual a razão entre distância e tempo (velocidade média)?

$$\text{Velocidade}=\frac{150\text{km}}{2\text{h}}=75\text{km/h}$$

1.2 Tipos Especiais de Razão

a) Escala

Razão entre a medida no desenho e a medida real.

Exemplo: Uma planta baixa está na escala 1:100. Isso significa que 1 cm no desenho corresponde a 100 cm (1 metro) na realidade.

b) Velocidade Média

Razão entre distância percorrida e tempo gasto.

$$v_m=\frac{\Delta S}{\Delta t}$$

c) Densidade Demográfica

Razão entre população e área territorial.

$$d = \frac{\text{população}}{\text{área}}$$

1.3 O que é Proporção?

Proporção é a igualdade entre duas razões.

Fórmula: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\text{ou}a:b=c:d$$

Lê-se: “a está para b, assim como c está para d”

Propriedade Fundamental das Proporções

$$a \times d = b \times c$$

Os extremos (a e d) multiplicados são iguais aos meios (b e c) multiplicados.

Exemplo:

Verificar se os números 2, 3, 4 e 6 formam uma proporção:

$$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$$

Verificando: 2 x 6 = 12 e 3 x 4 = 12$ ✓

A proporção é verdadeira!

1.4 Propriedades das Proporções

Propriedade 1: Troca dos Meios

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

Propriedade 2: Troca dos Extremos

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{d}{b} = \frac{c}{a}$$

Propriedade 3: Soma dos Antecedentes e Consequentes

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$

1.5 Divisão em Partes Proporcionais

Divisão Diretamente Proporcional

Exemplo Prático: Dividir R$ 600,00 entre três pessoas (A, B e C) de forma diretamente proporcional a 2, 3 e 5.

Resolução:

Soma dos valores: $2 + 3 + 5 = 10$

Constante de proporcionalidade:

Cálculo das partes:

A recebe:

B recebe:

C recebe: $5 \times 60 = 300$ reais

Verificação:

Divisão Inversamente Proporcional

Exemplo Prático: Dividir R$ 1.200,00 entre três funcionários inversamente proporcional ao número de faltas: 2, 3 e 4 faltas.

Resolução:

Inverter os números:

MMC(2, 3, 4) = 12

Transformar em proporção direta: 6, 4, 3 (dividindo 12 por cada número)

Soma: 6 + 4 + 3 = 13

Constante:

Cálculo:

1º funcionário:

2º funcionário:

3º funcionário:

2. REGRA DE TRÊS SIMPLES

2.1 Conceito

A regra de três simples é um método matemático usado para resolver problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

2.2 Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando:

• Aumentando uma, a outra aumenta na mesma proporção
• Diminuindo uma, a outra diminui na mesma proporção

Exemplo: Velocidade e distância (com tempo constante)

2.3 Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando:

• Aumentando uma, a outra diminui na mesma proporção
• Diminuindo uma, a outra aumenta na mesma proporção

Exemplo: Número de operários e tempo de trabalho

2.4 Como Resolver Regra de Três Simples

Passo a Passo:

1. Identificar as grandezas envolvidas
2. Montar a tabela com as grandezas
3. Analisar a relação (direta ou inversa)
4. Montar a proporção
5. Resolver a equação

2.5 Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Regra de Três Simples Direta

Problema: Se 5 cadernos custam R$ 30,00, quanto custarão 8 cadernos?

Resolução:

Cadernos	Preço (R$)
5	30
8	x

Análise: Mais cadernos → mais caro (DIRETA)

Proporção: $$\frac{5}{8} = \frac{30}{x}$$

Resolução: $$5 \times x = 8 \times 30$$ $$5x = 240$$ $$x = \frac{240}{5} = 48$$

Resposta: 8 cadernos custarão R$ 48,00.

Exemplo 2: Regra de Três Simples Inversa

Problema: 10 operários constroem um muro em 6 dias. Em quantos dias 15 operários construirão o mesmo muro?

Resolução:

Operários	Dias
10	6
15	x

Análise: Mais operários → menos dias (INVERSA)

Proporção (invertemos um lado): $$\frac{10}{15}=\frac{x}{6}$$

Resolução: $$15\times x=10\times 6$$ $$15x=60$$ $$x=\frac{60}{15}=4$$

Resposta: 15 operários construirão em 4 dias.

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3. REGRA DE TRÊS COMPOSTA

3.1 Conceito

A regra de três composta é utilizada quando o problema envolve três ou mais grandezas, sendo necessário analisar a relação entre cada uma delas com a grandeza desconhecida.

3.2 Como Resolver Regra de Três Composta

Passo a Passo:

1. Identificar todas as grandezas
2. Montar a tabela completa
3. Isolar a grandeza com a incógnita
4. Comparar cada grandeza com a incógnita (direta ou inversa)
5. Montar a proporção (inverter as grandezas inversas)
6. Resolver a equação

3.3 Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: Regra de Três Composta

Problema: 12 operários trabalhando 8 horas por dia constroem 60 metros de muro em 5 dias. Quantos metros de muro serão construídos por 18 operários trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias?

Resolução:

Operários	Horas/dia	Dias	Metros
12	8	5	60
18	6	10	x

Análise de cada grandeza em relação a METROS:

1. Operários x Metros: DIRETA (mais operários → mais metros)
2. Horas/dia x Metros: DIRETA (mais horas → mais metros)
3. Dias x Metros: DIRETA (mais dias → mais metros)

Montando a proporção: $$\frac{60}{x} = \frac{12}{18} \times \frac{8}{6} \times \frac{5}{10}$$

Simplificando: $$\frac{60}{x} = \frac{12 \times 8 \times 5}{18 \times 6 \times 10}$$

$$\frac{60}{x} = \frac{480}{1080}$$

$$\frac{60}{x} = \frac{4}{9}$$

Resolvendo: $$4x = 60 \times 9$$ $$4x = 540$$ $$x = 135$$

Resposta: Serão construídos 135 metros de muro.

Exemplo 2: Regra de Três Composta com Grandeza Inversa

Problema: 8 máquinas, trabalhando 6 horas por dia, produzem 2.400 peças em 5 dias. Quantas máquinas serão necessárias para produzir 3.000 peças em 4 dias, trabalhando 5 horas por dia?

Resolução:

Máquinas	Horas/dia	Dias	Peças
8	6	5	2400
x	5	4	3000

Análise de cada grandeza em relação a MÁQUINAS:

1. Horas/dia x Máquinas: INVERSA (mais horas → menos máquinas)
2. Dias x Máquinas: INVERSA (mais dias → menos máquinas)
3. Peças x Máquinas: DIRETA (mais peças → mais máquinas)

Montando a proporção (invertendo as inversas): $$\frac{8}{x} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{2400}{3000}$$

Simplificando: $$\frac{8}{x} = \frac{5 \times 4 \times 2400}{6 \times 5 \times 3000}$$

$$\frac{8}{x} = \frac{48000}{90000} = \frac{8}{15}$$

Resolvendo: $$8 \times 15 = 8x$$ $$120 = 8x$$ $$x = 15$$

QUESTÕES ESTILO CONCURSO PÚBLICO RESOLVIDAS

QUESTÃO 1 – Nível: Médio (Estilo CESPE)

Enunciado: Uma equipe de 15 servidores públicos foi designada para analisar 450 processos administrativos. Após 6 dias de trabalho, 180 processos já haviam sido analisados. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em quantos dias, no total, todos os processos estarão analisados?

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Identificar as grandezas

• Processos analisados
• Dias de trabalho

Passo 2: Organizar os dados

Processos	Dias
180	6
450	x

Passo 3: Analisar a relação Mais processos → mais dias (DIRETA)

Passo 4: Montar a proporção $$\frac{180}{450} = \frac{6}{x}$$

Passo 5: Resolver $$180 \times x = 450 \times 6$$ $$180x = 2700$$ $$x = \frac{2700}{180} = 15$$

Resposta: Os 450 processos estarão analisados em 15 dias no total.

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QUESTÃO 2 – Nível: Médio (Estilo FCC)

Enunciado: Um terreno de formato retangular tem 15 metros de largura por 25 metros de comprimento. Em uma planta baixa, esse terreno foi representado com 5 cm de largura. O comprimento do terreno na planta, em centímetros, é:

a) 6,25 b) 7,50 c) 8,33 d) 10,00 e) 12,50

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Converter para a mesma unidade

• Largura real: 15 m = 1.500 cm
• Comprimento real: 25 m = 2.500 cm
• Largura na planta: 5 cm

Passo 2: Encontrar a escala usando a largura $$\text{Escala} = \frac{\text{medida na planta}}{\text{medida real}} = \frac{5}{1500} = \frac{1}{300}$$

Passo 3: Aplicar a mesma escala ao comprimento $$\frac{x}{2500} = \frac{1}{300}$$

Passo 4: Resolver $$300x = 2500$$ $$x = \frac{2500}{300} = 8,33 \text{ cm}$$

Resposta: Alternativa C – 8,33 cm

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QUESTÃO 3 – Nível: Difícil (Estilo FGV)

Enunciado: Uma gráfica possui 4 impressoras que, trabalhando 6 horas por dia, imprimem 9.600 folhetos em 8 dias. Para imprimir 18.000 folhetos em 6 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantas impressoras serão necessárias?

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Organizar em tabela

Impressoras	Horas/dia	Dias	Folhetos
4	6	8	9600
x	8	6	18000

Passo 2: Analisar cada grandeza em relação a IMPRESSORAS

1. Horas/dia x Impressoras: INVERSA (mais horas → menos impressoras)
2. Dias x Impressoras: INVERSA (mais dias → menos impressoras)
3. Folhetos x Impressoras: DIRETA (mais folhetos → mais impressoras)

Passo 3: Montar a proporção (invertendo as inversas) $$\frac{4}{x} = \frac{8}{6} \times \frac{6}{8} \times \frac{9600}{18000}$$

Passo 4: Simplificar $$\frac{4}{x} = \frac{8 \times 6 \times 9600}{6 \times 8 \times 18000}$$

$$\frac{4}{x} = \frac{460800}{864000}$$

$$\frac{4}{x} = \frac{9600}{18000} = \frac{8}{15}$$

Passo 5: Resolver $$4 \times 15 = 8x$$ $$60 = 8x$$ $$x = 7,5$$

Passo 6: Interpretar Como não é possível ter 7,5 impressoras, são necessárias 8 impressoras.

Resposta: 8 impressoras

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QUESTÃO 4 – Nível: Médio (Estilo VUNESP)

Enunciado: Três servidores (Ana, Bruno e Carlos) devem dividir uma gratificação de R$ 4.800,00 de forma proporcional ao tempo de serviço de cada um: Ana tem 5 anos, Bruno tem 7 anos e Carlos tem 12 anos. Quanto cada um receberá?

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Identificar os valores proporcionais

• Ana: 5
• Bruno: 7
• Carlos: 12

Passo 2: Somar os valores $$5 + 7 + 12 = 24$$

Passo 3: Calcular a constante de proporcionalidade $$k = \frac{4800}{24} = 200$$

Passo 4: Calcular cada parte

• Ana: $5 \times 200 = 1.000$ reais
• Bruno: $7 \times 200 = 1.400$ reais
• Carlos: $12 \times 200 = 2.400$ reais

Passo 5: Verificar $$1000 + 1400 + 2400 = 4800$$ ✓

Resposta:

• Ana: R$ 1.000,00
• Bruno: R$ 1.400,00
• Carlos: R$ 2.400,00

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QUESTÃO 5 – Nível: Difícil (Estilo CESPE – Certo ou Errado)

Enunciado: Uma equipe de 20 digitadores, trabalhando 5 horas por dia, digitou 300 páginas em 12 dias. Se uma equipe de 15 digitadores trabalhasse 6 horas por dia durante 20 dias, digitaria mais de 450 páginas.

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Organizar os dados

Digitadores	Horas/dia	Dias	Páginas
20	5	12	300
15	6	20	x

Passo 2: Analisar as relações com PÁGINAS

• Digitadores x Páginas: DIRETA
• Horas/dia x Páginas: DIRETA
• Dias x Páginas: DIRETA

Passo 3: Montar a proporção $$\frac{300}{x} = \frac{20}{15} \times \frac{5}{6} \times \frac{12}{20}$$

Passo 4: Calcular $$\frac{300}{x} = \frac{20 \times 5 \times 12}{15 \times 6 \times 20}$$

$$\frac{300}{x} = \frac{1200}{1800} = \frac{2}{3}$$

Passo 5: Resolver $$2x = 300 \times 3$$ $$2x = 900$$ $$x = 450$$

Passo 6: Analisar a afirmação A questão diz “mais de 450 páginas”, mas o resultado é exatamente 450 páginas.

Resposta: ERRADO

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QUESTÃO 6 – Nível: Médio (Estilo FCC)

Enunciado: Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Outra torneira enche o mesmo tanque em 3 horas. Se as duas torneiras forem abertas simultaneamente, em quanto tempo encherão o tanque?

Resolução Passo a Passo:

Passo 1: Calcular o rendimento de cada torneira

Passo 2: Somar os rendimentos $$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Interpretação: Juntas, enchem 1/2 do tanque por hora

Passo 3: Calcular o tempo Se em 1 hora enchem 1/2, então: $$\text{Tempo}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\text{horas}$$

Resposta: 2 horas

DICAS PARA CONCURSOS

✅ Dicas de Ouro

1. Sempre identifique a relação: Pergunte-se: “Se aumentar uma grandeza, a outra aumenta ou diminui?”
2. Organize os dados em tabela: Visualizar ajuda a não errar
3. Atenção às unidades: Converta tudo para a mesma unidade antes de calcular
4. Simplifique antes de resolver: Facilita os cálculos e economiza tempo
5. Verifique a resposta: Veja se o resultado faz sentido no contexto
6. Treine inversamente proporcional: É onde a maioria erra!
7. Cuidado com pegadinhas: “No total” vs “ainda faltam” – leia com atenção
8. Pratique problemas mistos: Concursos adoram misturar conceitos

🎯 Erros Comuns a Evitar

❌ Confundir relação direta com inversa ❌ Não inverter as grandezas inversas na regra de três composta ❌ Misturar unidades de medida ❌ Esquecer de considerar todas as grandezas ❌ Não arredondar quando necessário (ex: número de pessoas)

Dominar variação de grandezas, razão, proporção e regra de três é essencial para qualquer concurso público. Esses conceitos aparecem em praticamente todas as provas, seja de forma direta ou aplicados a problemas contextualizados.

A chave do sucesso é:

• Entender os conceitos fundamentais
• Praticar muito com questões variadas
• Desenvolver raciocínio lógico para identificar relações
• Criar estratégias pessoais de resolução

Lembre-se: a matemática de concursos não exige genialidade, mas sim método, prática e atenção aos detalhes. Com dedicação e treino, você dominará esse conteúdo e garantirá pontos valiosos na sua prova!

Bons estudos e sucesso na sua jornada! 🎓📚